República bolivariana de venezuela 

Ministerio del Poder Popular para la Educción 

liceo bolivariano las Americas 

rubio - estado - tachira 

teorema de pitagoras y numeros irracionales

 

autora : yoalice sanabria

3er año seccion B

n# de lista : "2"

profesora: yarimar gonzales acero

introduccion

El teorema de Pitágoras es quizás la relación matemática, de cierta complejidad, más conocida por personas con una formación básica y que ofrece, al mismo tiempo, un importante valor práctico, teórico y didáctico, tanto en su versión aritmético algebraica como  en su versión geométrica.

    También me gustaría señalar que dentro de la educación secundaria, la geometría tiene un papel importante, y por tanto el teorema de Pitágoras no es conocido sino también usandolo ampliamente por nosotros

Mi objetivo
 

-Conocer el teorema de Pitágoras, tanto el enunciado como en algunas demostraciones.

-Hacer que seamos capaces de reconocer aquellas aplicaciones que tiene el teorema de Pitágoras.

 

 

Teorema de pitagoras

El Teorema de Pitágoras enuncia que en todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Un triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo interior de 90º (un ángulo recto). Los lados del ángulo recto son perpendiculares y se llaman catetos. La hipotenusa es el lado mayor, enfrentado al ángulo recto. Si lo dibujamos con base en uno de los catetos aparece siempre como un lado oblicuo, en tanto que un cateto es horizontal y el otro es vertical. Si seguimos la convención de llamar a la hipotenusa a, b al cateto horizontal y c al cateto vertical, la expresión del teorema sería:

a^2 = b^2 + c^2

Para los griegos, cuadrado era el cuadrilátero con sus ángulos rectos y lados congruentes, no era multiplicar a un número por sí mismo.

Convenimos en que los ángulos toman el nombre del lado opuesto. A es el ángulo recto, B es el ángulo adyacente a la base y C es el ángulo opuesto a la base . Como la suma de los 3 ángulos en un triángulo da siempre 180º (otro hallazgo pitagórico), si uno mide 90º los otros 2 ángulos agudos tienen que sumar otros 90º entre sí. Cuando 2 ángulos suman 90º se dice que son complementarios.

Así el complementario de 60º es 30º porque 60º + 30º = 90º y el complementario de 50º es 40º.

Se dice que este teorema fue descubierto en la Antigüedad por Pitágoras de Samos (isla griega del Asia Menor) que vivió casi cien años  (entre 580 a. C. y 495 a.C.), y terminó sus días en Crotona, una colonia griega del sur de Italia (la Grecia Magna). Fue el primer filósofo dedicado enteramente a las matemáticas. Pero en realidad no se sabe si fueron sus seguidores de la escuela pitagórica.

Anteriormente, los egipcios, babilonios e indios lo habían descubierto sin probarlo con una argumentación. Se conocían ternas de números enteros que cumplían la propiedad. Se las conoce como ternas pitagóricas.

( 3 , 4 , 5 ) ( 5, 12, 13) ( 7, 24, 25) ( 8, 15, 17) ( 9, 40, 41) (11, 60, 61) (12, 35, 37), entre otras. Estas ternas son algunas de las  primitivas, así denominadas porque no tienen divisores comunes salvo la unidad. También la propiedad fue descubierta por los chinos con posterioridad en el 250 a.C.

¿Probamos una?   5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2.

Tiene muchísimas demostraciones distintas. En el medioevo una condición para adquirir la maestría era descubrir una demostración inédita. Se piensa que hay más de mil demostraciones, entre ellas las de Leonardo Da Vinci y Euclides.

Teorema de Pitágoras generalizados

Si en vez de construir un cuadrado, sobre cada uno de los lados de un triángulo rectángulo, construimos otra figura, ¿seguirá siendo cierto, que el área de la figura construida sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de las figuras semejantes construidas sobre los catetos?

                                     

Los pitagóricos y

los números irracionales

     

La Escuela Pitagórica descubrió la existencia de números irracionales, es decir, números que no eran naturales (1,2,3,...), ni enteros (...-3,-2,-1.0,1,2,3,...) ni racionales (fracciones de números enteros).

Ellos los llamaron números inconmensurables. 

 Es posible que este descubrimiento se produjera al intentar resolver el problema siguiente:

Si se traza un cuadrado cuyo lado mida la unidad, es decir 1, y se intenta calcular lo que mide la diagonal utilizando el Teorema de Pitágoras, podemos dividir el cuadrado en dos triángulos rectángulos cuya hipotenusa es la diagonal d del cuadrado. En resumen tenemos dos triángulos rectángulos iguales con catetos que miden 1.

    Si ahora aplicamos el Teorema de Pitágoras tenemos que se verifica el siguiente desarrollo despejando d en la relación pitagórica.

Y el número  es irracional ("infinitas cifras decimales no periódicas"), tal y como vamos a probar más adelante.

Los pitagóricos se sorprendieron mucho de la existencia de este tipo de números "tan raros" que contradecía su doctrina que preconizaba la adoración del número como ente perfecto que gobernaba el universo y todo lo que en él existía. Al parecer llegaron a decidir mantener en secreto su descubrimiento que mostraba la fragilidad de sus creencias, pero uno de ellos lo reveló traicionando a la secta por lo que fue ejecutado.

Euclides (300 a.C.) recoge en su obra Los Elementos una referencia a los números irracionales y prueba el siguiente teorema que, posiblemente ya fue probado casi 300 años antes por el propio Pitágoras o alguno de sus discípulos:

        

Teorema.- El número es irracional.

Demostración.-

Vamos a ver una prueba aplicando el método de reducción al absurdo, que consiste en suponer cierto lo contrario de lo que afirmamos en el teorema para llegar a una contradicción, es decir que este supuesto no es posible.

SupongamosTeorema.- El número entonces que  no es un número irracional, es decir que es racional y por tanto habrá una fracción irreducible (que no se puede simplificar más), de modo que:

 

 con p y q números enteros y entonces:

 

y si elevamos al cuadrado los dos miembros queda:

y por lo tanto  es un número par, lo cual implica que también lo es, pues el cuadrado de un número impar es impar y el cuadrado de un número par es par:

Por tanto, al ser    un número par es múltiplo de 2, es decir será del tipo  , con m un número entero. Si ahora sustituimos en la igualdad anterior y operamos:

con lo que es par y también, es decir con n un número entero, luego la fracción irreducible inicial queda:

 

y se ha podido reducir, en contra de lo que habíamos supuesto al principio. Concluimos que no puede ser una fracción, no puede ser racional.

Numeros irracionales

Los números irracionales tienen como definición que son números que poseen infinitas cifras decimales no periódicas, que por lo tanto no pueden ser expresados como fracciones.

Estos números pueden haber sido descubiertos al tratar de resolver la longitud de un cuadrado según el Teorema de Pitágoras, siendo el resultado el número

2√

o raíz cuadrada de dos, el ejemplo de números irracionales más claro e inmediato, cuya respuesta a su vez posee infinitas cifras decimales que al no poder ser fraccionado, fue llamado irracional, en el sentido de no poder escribirlo como una ración o varias raciones o fracciones.

Para distinguir los números irracionales de los racionales, debemos tomar en cuenta que los números racionales si se pueden escribir de manera fraccionada o racional, por ejemplo: 18/5 que es igual a 3,6 por lo tanto es un número racional a diferencia de la raíz cuadrada de dos en cuyo resultado se obtienen infinito número de cifras decimales, y su fraccionamiento resulta imposible.

Podrías intentar encontrar la respuesta en una calculadora, y según el número de decimales con la cual la tengas programada, obtendrás algunos resultados: 1.4142135 esta es la respuesta de √2 con siete decimales, pero la cifra se irá alargando pues tiene infinitos decimales. De esta manera podemos definir a los números irracionales como un decimal infinito no periódico, es decir que cualquier representación de un número irracional, solo es una aproximación en números racionales.

 

 

Clasificación de los números irracionales

Dentro de la recta real numérica existen varios conjuntos de números, pero dentro de los números irracionales hay más tipos para clasificar, estos son:

Número algebraico.- se les llama así a los números irracionales que surgen de resolver alguna ecuación algebraica y se escribe con un número finito de radicales libres o anidados. En general, las raíces no exactas de cualquier orden se encuentran dentro de este conjunto, es decir las raíces cuadradas, cúbicas, etc.

Número trascendente.- este es un número irracional que no puede ser representado a través de un número finito de radicales libres o anidados, estos provienen de otro tipo de operaciones llamadas funciones trascendentes utilizadas mucho en trigonometría, logaritmos, exponenciales, etcétera. Aunque también pueden surgir de la simple acción de escribir números decimales al azar sin periodicidad y sin un patrón determinado, podemos decir que son decimales infinitos.

Este último tipo, se diferencia del anterior porque no puede ser el resultado de una ecuación algebraica, en otras palabras, son relevantes a la clasificación porque no tienen una representación con un número radical

Ejemplos de números irracionales

En primer lugar vamos a anotar los ya mencionados números irracionales algebraicos con ejemplos, ya habíamos hablado de √2 o raíz cuadrada de dos que resulta de una ecuación algebraica, pero también tenemos otros ejemplos que podrían resultar son:

1+3√2

y

 1+√3−−−−−−√4

 

Por otro lado, tenemos a los números irracionales trascendentes, que no pueden representarse mediante radicales como se lo ha hecho en el ejemplo anterior, sino que deben ser representados con decimales infinitos no periódicos, y con tres puntos suspensivos para denotar que son infinitos, de lo contrario estaríamos escribiendo números durante toda la eternidad, así:

Conclusion

Pitágoras dio un gran aporte a mí  nuestra formación sobre todo en las matemáticas, nos llevó a un mundo de imaginación con todas sus leyes y teoremas.

Cada teoría nos demuestra que importante es conocer acerca de filosofía sabiendo que cada dato es una gran aportación a nuestros conocimientos.

Bueno y de los números irracionales pienso que  son muy importantes, ya que son parte de la base que todos debemos saber para resolver operaciones matemáticas más complejas y exactas.

Mi anexo

yoalicesanabriayoalice